Controle - Suites numériques
On rappelle qu'une augmentation de t% se calcule en mulpliant par le \(CM = 1+\frac{t}{100}\) et une diminution de t% en multipliant
par le \(CM = 1 -\frac{t}{100}\)
Exercice 1
(Source : Xmath.fr) Une entreprise propose, pour recruter un employé, deux types de rémunération :
- Type 1 : Un salaire annuel de 21000€ avec augmentation annuelle de 4%
- Type 2 : Un salaire annuel de 23000€ avec une augmentation annuelle de 500€
1
On s'intéresse dans cette partie au salaire de type 1. On note \(u_0\) le salaire initial, et \(u_n\) le salaire au bout de \(n\) années.
a
Donnez les salaires des 3 premières années : \(u_0\), \(u_1\) et \(u_2\).
b
Quelle est la nature de cette suite ? Donnez ses éléments caractéristiques.
c
Donnez une expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
2
On s'intéresse dans cette partie au salaire de type 2. On note \(v_0\) le salaire initial, et \(v_n\) le salaire au bout de \(n\) années.
a
Donnez les salaires des 3 premières années : \(v_0\), \(v_1\) et \(v_2\).
b
Justifiez que cette suite n'est pas géométrique (il s'agit en fait d'une suite arithmétique).
3
Le nouvel employé compte rester 8 ans, dans l'entreprise. Si on lui laisse le choix, quel type de rémunération doit-il choisir ?
4
Questions Bonus :
a
exprimer \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\)
b
exprimer \(v_{n}\) en fonction de \(n\)
Exercice 2
(Source : maths-es.com) Un capital de 1000 euros est placé à intérêts composés au taux annuel de 5%. Soit \(u_n\) le capital disponible (en euros) au bout de \(n\) années. Ainsi, \(u_0=1000\).
1
Exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\). En déduire la nature de la suite.
2
Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
3
On s'intéresse à l'évolution du capital :
a
Quel est le sens de variation de la suite \((u_n)\) ? Justifier.
b
Quelle est la limite de la suite \((u_n)\) ? Justifier.
4
Compléter l'algorithme ci-dessous afin de déterminer la première année \(N\) telle que \(u_N\gt2000\) :
.... \(\rightarrow\) Q
0 \(\rightarrow\) N
.... \(\rightarrow\) U
2000 \(\rightarrow\) S
While U < ....
..... \(\rightarrow\) .....
..... \(\rightarrow\) U
End
Disp N
0 \(\rightarrow\) N
.... \(\rightarrow\) U
2000 \(\rightarrow\) S
While U < ....
..... \(\rightarrow\) .....
..... \(\rightarrow\) U
End
Disp N
5
À partir de quelle année le capital dépassera les 2000€ ?
Exercice 3
(Source : BAC 2010) Le nombre d'arbres d'une forêt, en milliers d'unités, est modélisé par la suite \(u_n\) où \(u_n\) désigne le nombre d'arbres, en milliers, au cours de l'année \(2010 + n\). En 2010, la forêt possède 50 000 arbres. Afin d'entretenir cette forêt vieillissante, un organisme régional d'entretien des forêts décide d'abattre chaque année 5 % des arbres existants et de replanter 3 000 arbres.
1
Justifier que la situation peut être modélisée par : \(u_0=50\) et pour tout entier naturel \(n\) par la relation : \(u_{n+1}=0,95\times u_n + 3\)
2
On considère la suite \(v_n\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_n=60-u_n\).
a
Montrer que la suite \(v_n\) est une suite géométrique de raison \(0,95\).
b
Calculer \(v_0\). Déterminer l'expression de \(v_n\) en fonction de \(n\).
c
Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=60-10\times 0,95 n\).
3
Déterminer le nombre d'arbres de la forêt en 2015. On donnera une valeur approchée arrondie à l'unité.
4
Déterminer la limite de la suite \(u_n\). Interpréter.